贈与をした人が贈与をした年に死亡した場合、贈与税の申告をするのでしょうか、それとも、相続税の申告をするのでしょうか？

これについては、贈与を受けた人（受贈者）が相続時精算課税制度の適用を受けているかどうかにより取扱いが異なります。

贈与を受けた人が相続時精算課税制度の適用を受けている場合

死亡した年の贈与財産は相続税の課税対象となるため、相続税の申告が必要です。そのため、贈与税の申告の必要はありません。
相続税の申告にあたっては、相続時精算課税制度の適用分の贈与財産の価額を他の相続財産に加算して相続税額を計算します。

贈与を受けた人が相続時精算課税制度の適用を受けていない場合

・贈与を受けた人が相続財産を取得する場合は、相続税の対象となり、相続税がかかる場合等においては相続税の申告が必要です。したがって、贈与税の申告の必要はありません。
相続税の申告にあたっては、被相続人の死亡前の３年以内に贈与を受けた財産の価額を相続税の課税価格に加算して相続税額を計算することとなります。
・贈与を受けた人が相続財産を取得しない場合は、贈与税の課税対象となり、贈与税の基礎控除額を超える場合は、贈与税の申告が必要となります。